Раздел 8. Нефть и газ

Величезна енергія, що міститься в ядрах атомів, може бути вивільнена при здійсненні двох процесів – поділу ядер важких елементів та синтезу ядер легких елементів. Пристрій, в якому здійснюється контрольована самопідтримуюча ланцюгова реакція поділу ядер важких елементів 233U, 235U, 239Pu, називається ядерним реактором. 

Коефіцієнт ділення

Для отримання енергії в ядерному реакторі використовується чудова фізична властивість ділення ядер урану під дією нейтронів. При діленні ядер урану утворюються ядра-продукти («уламки поділу») з високою кінетичною енергією й нові нейтрони, енергія яких велика і знаходиться в діапазоні 105–107 еВ (електрон-вольт), в кількості, що дорівнює ?. Середнє число вторинних нейтронів ?, що виникають при діленні, є найважливішою характеристикою цього процесу. Вірогідність ділення ядер урану вторинними нейтронами такої енергії мала і складає 1,25 барна для урану-235 (0,72% в урані природного складу) й 0,17 барна для урану-238 (99,28%).

Зі зниженням енергії нейтрона вірогідність ділення урану-235 значно зростає й для теплових нейтронів з енергією, меншою 1 еВ, складає 582 барна (тобто збільшується у 466 разів), тоді як уран-238 тепловими нейтронами не ділиться, його поділ відбувається при енергії нейтронів більше 1,45·106 еВ. Добуток імовірності ділення ядер на їх атомну концентрацію (N, ат/см3) визначає кількість ділень в одиниці об'єму ядерного палива (в 1 см3). При одному поділі ядра урану-235 виділяється енергія, що дорівнює Еділ ≈ 200 МеВ/ділення = 3,20·10-11 Вт·с/ділення. Щоб отримати 1 Вт теплової енергії необхідно, щоб відбулося 3,10·1010 ділень/с. Теплову потужність реактора можна записати таким чином:

P=Eділ(ΔNділ/Δt), де ΔN/Δt – число ділень за 1 с. Атомна електростанція, що виробляє 3000 МВт тепла, матиме електричну потужність 1000 МВт при к.к.д. перетворення теплової енергії в електричну 33% (0,33); це відповідає 8,1·1024 ділень/добу, або діленню 3160 грам урану-235 за добу (маса атома урану-235 дорівнює 3,90·10-22 грама, дійсне витрачання урану-235 трохи вище). При взаємодії нейтронів з атомами урану не тільки відбувається реакція їх ділення, а одночасно протікає конкуруюча реакція радіаційного захоплення нейтрона з утворенням важчих ізотопів урану (урану-236 й урану-239), що призводить до втрати нейтронів для процесу ділення.

Під дією теплових нейтронів уран-235 в цих реакціях «вигорає»:

Уран-236 — нестабільний довгоживучий елемент (період його напіврозпаду Т1/2 = 2,34·107 років) – розпадається з випусканням α-частинок. Оскільки тільки частина теплових нейтронів, які поглинуті ураном-235, бере участь в реакції ділення, то вірогідність того, що поглинутий нейтрон викличе ділення урану-235, дорівнює відношенню перерізу ділення ?дiл до повного перерізу поглинання нейтронів:

σдiл/(σдiл+ σзах)=1/(1+ σзахσдiл).

Вихід вторинних нейтронів з розрахунку на кожен первинний нейтрон, поглинутий ядром урану-235, буде у νразів більшим:

η = ν/(1 + σзах/σдiл) і ця величина називається коефіцієнтом ділення. Однією з основних вимог для протікання ланцюгової реакції ділення, що самопідтримується, є умова η>1. Для урану-235 і теплових нейтронів величини перерізів реакцій ділення σдiл і радіаційного захвату σзах дають величину η=2,07 (ν=2,42). Для природного урану з урахуванням концентрацій урану-235 (0,72%) і урану-238 (99,28%) (його переріз ділення на теплових нейтронах вельми малий, а переріз радіаційного захвату σзах=2,70 барна) отримуємо η=1,33, що означає можливість ланцюгової реакції поділу, яка самопідтримується, у природному урані на теплових нейтронах.

У випадку урану-238 в реакціях радіаційного захоплення нейтронів утворюються послідовно два короткоживучі елементи, – уран-239 (період напіврозпаду T1/2=23,470 хв) і нептуній-239 (період напіврозпаду T1/2=2,355 доби), при природному радіоактивному розпаді яких з випусканням ?-частинок (електронів) утворюється чудовий довгоживучий елемент плутоній-239 (Т1/2=2,41·104 років):

.

Плутоній чудово ділиться тепловими нейтронами, краще, ніж уран-235 (σдiл=748 барнів; ν=2,88; η=2,11). Тому ще на ранній стадії розвитку атомної енергетики, враховуючи, що основну масу природного урану складає уран-238, виникла ідея конверсії урану-238, що не ділиться, у плутоній-239, що ділиться, для використання його як ядерного палива. Але для здійснення цього процесу необхідні додаткові нейтрони, окрім тих, що підтримують безперервну ланцюгову ядерну реакцію поділу. Для відтворення ядерного палива народжені при діленні нейтрони повинні привести до появи, як мінімум, одного ядра, що ділиться, замість того, що розділилося.

Виявилось, що коефіцієнт ділення ηзростає зі збільшенням енергії нейтрона, викликаючого ділення, що підвищує можливість відтворення ядер, які діляться, із сировинного урану-238. Підвищення енергії нейтрона від теплової (менше 1 електрон-вольта) до 106 електрон-вольт (а це – середня енергія вторинних нейтронів ділення!) приводить до збільшення коефіцієнта ділення ηдля урану-235 від 2,07 до 2,39 (на 15,5%), а для плутонію-239 – від 2,11 до 2,88 (на 36,5%). Стало очевидним, що використання урану-238 у реакторі-розмножувачі, котрий працює на швидких нейтронах, буде ефективнішим, ніж у реакторі на теплових нейтронах. Аналіз балансу вторинних нейтронів показав, що мінімальним критерієм відтворення ядерного палива будуть умови, коли η>2. Чим вищим буде значення величини η, тим вищий буде коефіцієнт відтворення (відношення числа народжених ядер нового палива до загиблих (що розділилися) й таких, які генерували вторинні нейтрони), що можливо в реакторах, працюючих на швидких нейтронах.

Найбільш придатним матеріалом, який ділиться, для відтворення ядерного палива є плутоній-239, а необхідний для цього енергетичний спектр нейтронів повинен бути, ймовірно, більш високоенергетичним, що унеможливлює застосування в таких реакторах матеріалів, котрі уповільнюють нейтрони. Дослідження паливних циклів ядерних реакторів показали, що з однієї і тієї ж кількості урану в реакторі-розмножувачі на швидких нейтронах можна отримати в ~80 раз більше енергії, ніж у реакторі на теплових нейтронах.

Відтворення ядерного палива за викладеною вище схемою вже давно існує в енергетичних ядерних реакторах на теплових нейтронах, котрі нині експлуатуються, і додаткове вироблення енергії за рахунок плутонію-239, котрий утворюється у використовуваному урановому паливі, перевищує 30%.

Ядерні реактори можна спроектувати так, щоб ділення відбувалося нейтронами, сповільненими до теплових енергій раніше, ніж вони викличуть ділення, або швидкими нейтронами. Це приводить до двох різних типів ядерних реакторів – реакторів на теплових нейтронах і реакторів на швидких нейтронах.

Для уповільнення нейтронів ділення в реакторах на теплових нейтронах використовують матеріали з невеликим масовим числом, такі, як вода, графіт, важка вода. Нейтрони, стикаючись з ядрами атомів уповільнювача, втрачають свою енергію і ефективно поглинаються ураном-235.

Ядра-продукти, що утворюються при діленні урану («уламки поділу»), мають високу кінетичну енергію й їх гальмування в матеріалі ядерного палива (керамічний оксид урану – UO2) призводить до його розігрівання, тобто до виділення в точці ділення теплової енергії, котра може бути відведена з активної зони реактора теплоносієм.

Коефіцієнт розмноження нейтронів

На кожний поглинутий ядром урану-235 нейтрон в реакції ділення утворюється ?=2,07 нових швидких нейтронів. Ці нові нейтрони використовуються після їх уповільнення для ділення інших ядер урану-235, що приводить до утворення ще більшої кількості нейтронів. В ядерному реакторі ланцюгові ядерні реакції ділення регулюються таким чином, що стан рівноваги досягається у разі, коли на кожний подальший акт ділення урану-235 використовується тільки один з нових нейтронів. У цих умовах коефіцієнт розмноження нейтронів буде дорівнювати одиниці:

При К>1 кількість нейтронів у другому поколінні перевищує кількість нейтронів, поглинутих в першому поколінні. При цьому потік нейтронів і, отже, число актів ділення збільшуються з кожним подальшим поколінням нейтронів, що приводить до зростання енергії, яка виділяється в реакторі. При К=1 число ділень за одиницю часу буде постійним, постійним буде і вироблення енергії в реакторі. При К<1 ланцюгова реакція ділення не може підтримуватися. Реактор, що працює при К=1, називають критичним, при К>1 – надкритичним і при К<1 – підкритичним.

Якби був відсутній механізм регулювання процесу ланцюгової реакції, то теплота, котра утворюється при діленні, зруйнувала б систему, в якій протікає реакція. В ядерних реакторах використовуються різні механізми регулювання ланцюгової реакції ділення. У системах ядерної зброї такі механізми регулювання відсутні, й всі зусилля при його створенні спрямовані на досягнення можливо інтенсивнішої реакції ділення.

У будь-якому поколінні нейтронний потік піддається різноманітним змінам. Деякі нейтрони залишають межі реактора (так звані нейтрони витоку), інші поглинаються конструкційними матеріалами (наприклад сповільнювачем, теплоносієм, елементами системи регулювання тощо). На практиці використовують два різні коефіцієнти розмноження: К∞ відноситься до середовища нескінченних розмірів (тобто до реактора без витоку нейтронів) і Кеф – до фізичного середовища (тобто до реактора скінченних розмірів). Ці величини пов'язані між собою співвідношенням

Кeф=К∞· Λ,

де Λ – частка нейтронів, які втрачаються за рахунок витоку до середовища, що оточує реактор (це – вірогідність нейтрону ділення уникнути витоку з активної зони).

Щоб звести до мінімуму витік нейтронів, активну зону ядерного реактора, котра містить ядерне паливо, оточують відбивачем нейтронів, яким для теплових нейтронів зазвичай бувають графіт, вода або берилій, а для швидких нейтронів часто використовують залізо.

Максимально можлива надкритичність (при вилученні з активної зони реактора всіх поглиначів нейтронів) називається запасом надкритичності:

Частіше стан ядерного реактора характеризують реактивністю ρ – відносним відхиленням величини Кеф від одиниці:

що фізично є часткою зміни кількості нейтронів (ділень) у новому поколінні до всіх нейтронів (ділень) цього покоління.

Слід розрізняти поняття «реактивність» й «запас реактивності». Реактивність – це ступінь відхилення реактора від критичного стану. У цьому випадку Кеф близький до одиниці й ρ≈δКеф. Запас реактивності ρзап – це максимально можлива реактивність при повністю вилучених з активної зони реактора поглиначах:

У цьому випадку, як правило, Кеф істотно більший одиниці.

Реактивність характеризує реакцію активної зони реактора на зміну її розмножуючих властивостей в результаті дії різних матеріальних і геометричних чинників (температури, концентрації поглиначів нейтронів та ін.).

На мал. 2.1 наведено схему нейтронного циклу в ядерному реакторі. Якщо паливо з природного урану (η=1,33) поглинає N1=100 нейтронів, то при діленні випускається N1·η=100·1,33=133 нейтрона (вважаємо, що витік нейтронів відсутній, Λ=1). Ці швидкі нейтрони ділення також викликають поділ ядер урану, внаслідок чого випускаються нові нейтрони.

Цей процес враховується коефіцієнтом розмноження на швидких нейтронах ε, величина якого в ядерному реакторі залежить від матеріалу сповільнювача. Для ядерного реактора з паливом із природного урану і сповільнювача з графіту величина ε=1,03.

Кількість швидких нейтронів ділення зростає в 1,03 раз і стає рівною N1·η=100·1.33·1,03=137.

Енергія цих швидких нейтронів ділення поступово знижується через зіткнення з ядрами атомів навколишнього середовища. При цьому зниженні енергія нейтронів проходить діапазон значень від 104 еВ до 1 еВ, в якому дуже висока вірогідність радіаційного захоплення нейтронів ядрами атомів урану без поділу внаслідок великих резонансів в енергетичних залежностях перерізів цієї ядерної реакції (n,γ), які зображені на мал. 2.2.

Щоб уникнути цього «паразитного» захоплення нейтронів при їх уповільненні, необхідно відокремити фізично сповільнювач і паливо. Швидкі нейтрони ділення, що випускаються паливними елементами, уповільнюються в сповільнювачі, що оточує їх, і число необхідних зіткнень для уповільнення нейтронів легкими атомами сповільнювача буде мінімальним. Вірогідність поглинання швидких нейтронів ділення в процесі дифузії в сповільнювачі досить низька, а вірогідність уникнути резонансного поглинання атомами урану висока (вона позначається р).

Мал. 2.1. Схема нейтронного циклу в ядерному реакторі

Мал. 2.2. Залежність перерізів реакцій радіаційного захоплення (σν), ділення (σf) й повного перерізу (σt) від енергії нейтронів.

В області енергій 1–5000 еВ наведені лише огинаючі піків кожної кривої З первинної кількості теплових нейтронів N1, захоплених ядрами атома урану-235, після уповільнення нейтронів, утворених при діленнях, буде отримано N1ηεр теплових нейтронів. У реакторі з паливом із природного урану і сповільнювачем з графіту p=0,9. Тому з первинних N1=100 теплових нейтронів (без витоку, Λ=1) в послідовних процесах ділення, утворення швидких нейтронів ділення і викликаного ними «швидкого» ділення, що збільшило їх кількість, і подальшого уповільнення швидких нейтронів до теплових енергій, утворюється N1ηεр=137 теплових нейтронів. Але зі зменшенням енергії нейтронів до теплових енергій перерізи «паразитного» радіаційного захоплення нейтронів зростають. Тому деяка кількість нейтронів, що досягли теплових енергій при уповільненні, будуть поглинуті матеріалами конструкцій і сповільнювачем. Вірогідність уникнути захоплення теплових нейтронів позначається f і називається коефіцієнтом використання теплових нейтронів, який у нашому випадку можна прийняти рівним 0,9. Тому із початкової кількості теплових нейтронів N1=100 в другому поколінні виникає N2=N1ηεрf = 111 теплових нейтронів, які і викличуть подальше ділення ядер уранового палива. Ці 111 теплових нейтронів складають друге покоління, яке відповідно до визначення коефіцієнта розмноження нейтронів і є величиною К∞:

К?=N2/N1=ηεрf.

Цей вираз називають формулою чотирьох співмножників. У нашому випадку К∞ = 1,11.

Величина η залежить від того, яку кількість матеріалу, що ділиться, містить паливо. Інші три множники мають складнішу залежність від конструкції ядерного реактора: від відношення об'ємів палива і сповільнювача, кількості палива, форми активної зони та ін.

Щоб врахувати зменшення величини f в процесі роботи ядерного реактора, енергетичні ядерні реактори проектують з К?=1,2–1,3, а не 1,11, як у наведеному прикладі. Використовують ще вищі значення К?, наприклад, в реакторах з високим збагаченням ядерного палива. У реакторах з високим К?, який допускає велику глибину вигоряння палива, щоб зменшити К?, можна спочатку вводити вигоряючий поглинач нейтронів. Таким поглиначем нейтронів може служити гадоліній, особливо Gd-157, який складає 16% природного гадолінію і має переріз поглинання теплових нейтронів 25400 барнів. Навіть невелика кількість гадолінію значно знижує коефіцієнт використання теплових нейтронів f. Гадоліній безперервно убуває в процесі роботи ядерного реактора, але одночасно утворюються продукти реакції ділення, які є поглиначами теплових нейтронів, і їх поява компенсує втрату гадолінію; в результаті підтримується задовільна величина К?. Щоб досягти можливо більшого значення К?, всі матеріали в реакторі повинні бути виключно чистими. Точні співвідношення, що визначають залежність співмножників у виразі для К? від геометрії, ізотопного складу палива і т.д., вельми складні. Досить відзначити, що можна розрахувати оптимальне геометричне розташування палива й сповільнювача.

Уповільнення й дифузія нейтронів. Час життя нейтронів

Всі діючі ядерні реактори мають витік нейтронів з активної зони, який зменшує їх кількість у другому поколінні. Нейтрон у процесі уповільнення й подальшої дифузії взаємодіє з ядрами атомів розмножуючого середовища, переміщуючись від місця свого народження в точці реакції ділення до точки взаємодії (мал. 2.3).

Вільний нейтрон – нестабільна частинка, що розпадається на протон, електрон і антинейтрино. Середній час життя вільного нейтрона 15,3 хв, але якщо нейтрон знаходиться в конденсованому середовищі, то час його життя визначається вірогідністю його поглинання (перерізом поглинання атомами середовища) , де – середня швидкість нейтрона в тепловій групі (см/с), Σа = σаN – макроскопічний переріз поглинання нейтрона ядрами атомів середовища (см^-1), рівний добутку мікроскопічного перерізу поглинання нейтрона окремим атомом σа (см²/атом) на концентрацію N атомів середовища (атом/см³).
Мал. 2.3. Схема уповільнення й дифузії нейтронів

Найменшим макроскопічним перерізом поглинання (з конденсованих середовищ) володіє важка вода (D2O): Σа=10^-4 см^-1.

Оскільки середня швидкість теплових нейтронів =2,5·10⁵ см/с, то час життя теплового нейтрону у важкій воді tT=0,04 с. У реакторах на теплових нейтронах tT=10-4–10-3 с. Вік нейтрона ? (м2) – міра середньої відстані по прямій r_зам , на яку зміщується нейтрон від точки народження з енергією Е0 до точки, де він уповільниться до енергії Е:

, де Σs – макроскопічний переріз розсіювання нейтрона атомами середовища (сповільнювача).

Логарифм відношення енергій називається летаргією, а середня зміна летаргії при одному зіткненні називається середнім логарифмічним декрементом енергії ξ нейтрона при зіткненні його з ядром і характеризує втрату енергії нейтроном, що мав до зіткнення енергію Е1, а після зіткнення Е2:

де А – масове число атома сповільнювача.

Для А>12 (що відповідає графіту) ξ(А>12)≈2/(А+2/3). Середня кількість зіткнень Z, необхідних для уповільнення нейтронів ділення з енергією Е1 в сповільнювачі з логарифмічним декрементом ξ:

 

Для сповільнювача, що складається з атомів з масовим числом А>12,

Для уповільнення нейтронів середньої енергії ділення Е0=2 МеВ до теплової енергії Ет=0,025 еВ необхідна кількість зіткнень Z=18,2/ξ. У таблиці 2.1 наведено значення величин ξ^-1 і Z для деяких елементів.

З таблиці 2.1 видно, що навіть для водню середнє число зіткнень нейтрона у процесі уповільнення набагато більше одиниці.

Нейтрон, що сповільнився, знаходиться в тепловій рівновазі із середовищем, його рух супроводжується багатократною зміною напряму і швидкості в результаті зіткнень з ядрами атомів до тих пір, поки він не буде поглинутий одним з них (див. мал. 2.3).

Довжина дифузії нейтрона L (м) – міра середньої відстані по прямій (rдиф), на яку зміщується нейтрон від точки, де він став тепловим, до точки поглинання:

Довжина міграції нейтрона М (м²) – міра середньої відстані по прямій, на яку зміщується нейтрон від точки свого народження до точки поглинання; площа міграції нейтрона M=τ+L².

Коефіцієнт уповільнення нейтронів характеризує здатність речовини уповільнювати й зберігати нейтрони (не поглинати):

Купов.=ξΣs/Σа,

где ξΣs – уповільнююча здатність речовини сповільнювача (Σs– макроскопічний переріз розсіяння нейтронів у цій речовині).

У таблиці 2.2 наведені дифузійні й уповільнюючі характеристики деяких речовин.

Витік нейтронів та критичні розміри

Витік швидких ЛШ й теплових ЛТ нейтронів залежить від середніх відстаней, котрі нейтрони проходять у процесі уповільнення

? від точки свого народження та в процесі дифузії L до точки, де вони викличуть нове ділення, а також від геометрії активної зони й відбивача, яка визначається геометричним лапласіаном В2:

ЛШ=ехр(-В2τ);ЛТ=(1+В2L2)-1.

Таблиця 2.1. Середнє число зіткнень при уповільненні нейтронів ділення

Величини	Елементи
	1Н	2D	9Be	12C	27Al	208Pb
ξ-1	1	1,38	4,84	6,34	13,8	104,3
Z	18	25	88	115	251	1896

Таблиця 2.2. Дифузійні й уповільнюючі характеристики деяких речовин (температура середовища 20°С)

Елемент (хімічна сполука)	ξа,см-1	ΣS,см-1	D,см	L,см	ξΣS,см-1	τ,см2
Н2О	1,97210-2	1,496	0,142	2,69	1,3851	26,9
D2О	3,88710-3	0,350	0,841	147	0,1784	118
Ве	8,2910-4	0,757	0,488	24,4	0,1561	90
ВеО	4,7410-4	0,666	0,628	36,5	0,1156	95
С	2,60510-4	0,397	0,829	56,4	0,0626	297

Вищенаведені характеристики просторової поведінки нейтронів в розмножуючому середовищі дозволяють визначити ефективний коефіцієнт розмноження нейтронів Кеф, враховуючи реальну геометрію ядерного реактора:

Цей вираз для Кеф називається критичним рівнянням. Оскільки площа міграції нейтрона М=L2+τ (див. вище), то для великого критичного реактора на теплових нейтронах критичне рівняння має вигляд:

Геометричний лапласіан В2 залежить від розподілу потоку нейтронів в ядерному реакторі. Розрахунок лапласіана В2 для гетерогенних реакторів досить складний. Для циліндричної активної зони радіусом R (м) й висотою Н (м) величина В2 (м2) визначається із співвідношення

а для сферичної активної зони радіусом R (м) із співвідношення B=π/(R+δеф)(м-1), де δеф – ефективна добавка – зменшення лінійних розмірів активної зони за рахунок відбивача нейтронів.

Величина Кеф зростає при зменшенні лапласіана В2, а оскільки величина В обернено пропорційна розміру (тобто 1/R), то вона зменшується при збільшенні розміру ядерного реактора. Величина К? пропорційна об'єму реактора (для сфери пропорційна R3), а витік нейтронів – поверхневий ефект (пропорційний R2). Для кожного реактора існує мінімальний критичний розмір (К?=1), відношення поверхні якого до об'єму настільки велике, що витоку нейтронів досить для запобігання ланцюгової реакції ділення.

Найменші критичні розміри отримують для однорідних (гомогенних) систем з чистих ізотопів, що діляться, з максимальним відбиттям нейтронів від відбивача, що оточує їх. Для нейтронів спектру ділення критична маса металевої сфери з чистого урану-235 дорівнює 22,8 кг, з урану-233 – 7,5 кг, із плутонію-239 – 5,6 кг за наявності відбивача нейтронів із металевого урану завтовшки 20 см.

Кінетика ядерного реактора

Середній час життя нейтрона tн в ядерному реакторі, за який нейтрони завершують один виток нейтронного циклу, визначається часом уповільнення нейтрона tупов. від енергії Е0 (швидкість V0) й дифузії tдиф теплового нейтрона (зі швидкістю VТ) до його поглинання:

В ядерних реакторах на теплових нейтронах час життя нейтрона від народження до поглинання практично визначається часом дифузії

й рівний tн=10^-4–10^-3 с. У реакторах на швидких нейтронах час життя нейтрона складає tн = 10^-7–10^-6 с, в ядерній зброї (швидкі гомогенні реактори) він ще коротший: tн=10-9–10-8 с. Для підтримки ланцюгової реакції поділу використовується один нейтрон; загальна кількість нейтронів N в ядерному реакторі змінюється з часом t відповідно до рівняння

де Nдж – вклад будь-якого присутнього в активній зоні реактора джерела нейтронів за відсутності ділень (наприклад постійного джерела нейтронів).

На практиці зустрічаються три варіанти, коли величини ефективних коефіцієнтів розмноження Кеф<1, Кеф>1 і Кеф=1. Розв’язання вищенаведеного виразу, що описує зміну потоку нейтронів з часом N(t) для різних значень Кеф, приводить до різних результатів.

1) Кеф <1, реактор підкритичний:

У цьому випадку число нейтронів в активній зоні ядерного реактора залежить від інтенсивності постійного джерела нейтронів. Реактор діє як підсилювач потоку нейтронів джерела Nдж, причому посилення зростає при збільшенні Кеф (у міру наближення величини Кеф до одиниці).

2) Кеф>1, реактор надкритичний::

де N0 – число нейтронів у момент часу t = 0.

Якщо Nдж=0, то цей вираз набуває вигляду N(t)=N0·exp[(Кеф–1)·t/tн] й потік нейтронів (а, отже, й потужність) експоненційно зростають з часом.

3) Кеф=1, реактор критичний:

N(t)=N0 + Nдж·t. Цей вираз показує, що число нейтронів дещо зростає з часом, але величина Nдж·t зазвичай така мала, що нею можна знехтувати.

Зручним змінним параметром для опису динамічної поведінки реактора є реактивність ρ, пов'язана з коефіцієнтом розмноження нейтронів співвідношенням ρ=(Кеф–1)/Кеф.

Реактивність так само, як коефіцієнт розмноження, – величина безрозмірна, часто вимірювана у відсотках. Наприклад, реактивність, рівна 1%, відповідає ρ=0,01. Реактивність критичного реактора дорівнює нулю, оскільки в цьому випадку Кеф=1. Будь-яка зміна реактивності приводить до відхилення густини потоку нейтронів в активній зоні ядерного реактора від стаціонарної величини. Величина tн/(Кеф–1)=Т називається постійною часу реактора (або його періодом). У нормально працюючому ядерному реакторі Кеф близький до одиниці й ρ≈ΔКеф, тому період реактора Т≈tн/ΔК=tн/ρ й рівняння, що описує поведінку потоку нейтронів N(t) у разі Кеф >1 (випадок 2), матиме вигляд

За таких умов густина потоку  нейтронів в активній зоні ядерного реактора та його потужність зростатимуть експоненціально. Чим коротший період реактора Т, тим швидше зростають потік нейтронів й потужність реактора. Навіть у реакторі з графітовим уповільнювачем, в якому час життя нейтронів досягає величини t^_н≈10^-3  с, густина потоку нейтронів зростатиме дуже швидко, якщо реактивність ρ буде помітно більша нуля.

Наприклад, при Кеф=1,001 період реактора буде порядку Т=10-3/0,001=1 с, й за відсутності коректуючої дії органів управління реактора його потужність за t=10 с збільшиться в е10≈2·104разів. В ядерному реакторі зі збагаченим урановим паливом й уповільнювачем зі звичайної води Н2О час життя нейтронів близько 10-4 с й період розгону ядерного реактора Т=10-4/0,001=0,1 с, а період розгону реактора на швидких нейтронах ще менший.

Ясно, що за відсутності стабілізуючого впливу запізнілих нейтронів час реакції ядерного реактора на зміну реактивності настільки малий, що керувати реактором практично неможливо.

Управління ядерним реактором

Частка запізнілих нейтронів βу повній кількості нейтронів поділу мала й складає 0,0065 (0,65%) для урану-235, ще менша для урану-233 (β=0,28%) й плутонію-239 (β=0,21%), але вони дуже важливі для керування ядерними реакторами. Це пов'язано з тим, що середній час запізнювання нейтронів є єдиною відносно великою постійною часу, яка уповільнює динамічну реакцію реактора настільки, що робить можливим його регулювання введенням та виведенням з активної зони реактора поглиначів нейтронів.

Запізнілі нейтрони випускаються радіоактивними ядрами елементів, утвореними в процесі послідовних природних радіоактивних

β-перетворень багатьох ядер – продуктів реакції ділення й названими попередниками запізнілих нейтронів.

Запізнілі нейтрони ділять на шість груп (i=6), кожна з яких характеризується постійною радіоактивного розпаду λi попередників, що їх випускають. Існування запізнілих  нейтронів призводить до того, що середній (або ефективний) час життя нейтронів виявляється набагато більшим часу життя tН одних тільки миттєвих нейтронів ділення

де βi – частина від повного виходу нейтронів при діленні, відповідна запізнілим нейтронам, що входять до групи i, величина τi – середній час запізнювання цих нейтронів, який дорівнює періоду напіврозпаду відповідних попередників, що ділиться на ln2, тобто ; величина – повна відносна кількість запізнілих нейтронів.

Для урану-235 ефективний час життя нейтронів (табл. 2.3)

У цьому випадку період розгону ядерного реактора при надмірній реактивності ρ=0,1% (Кеф=1,001) буде близьким до Т≈100 с, тобто реакція ядерного реактора на зміну реактивності на рівні 0,1% буде достатньо повільною, і з'являється запас часу на корегування рівня потужності реактора стрижнями регулювання. Таким чином, запізнілі нейтрони подовжують період реактора майже в 100 разів, значно полегшуючи його регулювання.

На мал. 2.4 представлена залежність періоду реактора Т від реактивності ρ для різних значень ефективного часу життя покоління нейтронів. Реактивність часто вимірюють в частках β запізнілих нейтронів (яка залежить від використовуваного в ядерних реакторах ядерного палива), а не в абсолютних одиницях. Одиницю відносної реактивності ρ/β називають доларом, а її соту частину – центом. Використання таких одиниць реактивності зручне тим, що однакова реактивність, виражена в доларах, викликає розгін реактора з одним і тим же періодом незалежно від того, на якому паливі, що ділиться, він працює.

При невеликій реактивності період розгону ядерного реактора практично не залежить від ефективного часу життя покоління нейтронів (див. мал. 2.4). Коли реактивність стає рівною або більшою повної частки запізнілих нейтронів

то період розгону реактора стає дуже малим і сильно залежить від ефективного часу життя нейтронів. У випадку, коли ρ>β, реактор стає надкритичним тільки на одних миттєвих нейтронах, вплив запізнілих нейтронів у цьому випадку незначний й потужність реактора зростатиме катастрофічно швидко. Такий реактор називають миттєво критичним. Конструкцію ядерної зброї розраховують так, щоб вона була миттєво критичною при ΔК≥1, даючи період розгону T≥10-8с.

Таблиця 2.3. Характеристика запізнілих нейтронів

Номер групи	Т1/2,с	τ,с	Ен,кеВ	Вихідзапізнілихнейтронівнаоднеділення,10-2
				233U	235U	239Pu	232Th	238U
1	54–56	78–81	250	0,06	0,05	0,02	0,17	0,05
2	21–23	30–33	560	0,20	0,35	0,18	0,74	0,56
3	5–6	7,2–8,7	430	0,17	0,31	0,13	0,77	0,67
4	1,9–2,3	2,7–3,3	620	0,18	0,62	0,20	2,21	1,60
5	0,5–0,6	0,7–0,9	420	0,03	0,18	0,05	0,85	0,93
6	0,17–0,27	0,25–0,39		0,02	0,07	0,03	0,21	0,31
Повнечислозапізнілихнейтронів наоднеділення,10-3				0,66	1,58	0,61	4,95	4,12
Частказапізнілихнейтронівβ,%				0,26	0,64	0,21	2,2	1,57

Мал. 2.4. Залежність реактивності від періоду розгону реактора Т на 235U паливі при різних середніх строках життя нейтронів tн

Реактори для виробництва енергії проектують критичними на запізнілих нейтронах. Якщо в реакторі на теплових нейтронах, що працює на урановому паливі, ΔК≥β (Keф≥1,0065), то період розгону реактора буде рівний Т=13 с при часі життя покоління нейтронів = 0,084 с і у відповідності до рівняння

N(t)=N0exp(t/T)

кількість нейтронів у його активній зоні й потужність подвоюватимуться через кожні 10 с. Зазвичай Кеф<1,0065 (тобто 1–Кеф << β) і час подвоювання потужності реактора збільшується. Реактор повинен бути спроектований так, щоб виключити збільшення реактивності на величину такого порядку.

Ситуація, коли ρ=β, називається критичністю на миттєвих нейтронах, а при ρ > β кажуть про надкритичність на миттєвих нейтронах. Зміна потужності ядерного реактора в надкритичному стані (Кеф>1, ρ>0) відбувається за експоненціальним законом:

N(t)=N(tн)·exp(t/T),

де N(tн) = N(tн) = N0βэф/(βэф – ρ) – потужність після стрибка на миттєвих нейтронах від значення N0 при ρ =0 (мал. 2.5).

У цьому виразі βеф=γβеф – ефективна частка запізнілих нейтронів, γ – ефективність запізнілих нейтронів, частка яких дорівнює β. Коефіцієнт γ характеризує цінність запізнілих нейтронів, яка залежить від типу ядерного реактора, виду ядерного палива, енергетичного спектру нейтронів та ін.

Якщо реактивність, введена до активної зони критичного ядерного реактора, негативна (тобто коефіцієнт розмноження нейтронів раптово зменшився), то потужність реактора стрибком падає на величину N(tн) і далі зменшується за експоненціальним законом, причому з часом період згасання визначатиметься найбільш довгоживучою групою запізнілих нейтронів. При введенні до активної зони ядерного реактора дуже великої негативної реактивності потужність реактора зменшується надзвичайно швидко і досягає значення, відповідного зупиненому реактору (див. мал. 2.5).

Зміна реактивності ρ супроводжується зміною співвідношення між кількістю миттєвих nмит й запізнілих нейтронів nзап, яке протікає протягом деякого часу (так званий перехідний період). При позитивному стрибку величини реактивності від ρ=0 до ρ < βеф
відбувається збільшення потужності на миттєвих нейтронах протягом часток секунди, яке визначається часом життя миттєвих нейтронів:

N(t_н) = N₀β_эф/(β_эф – ρ)

Потужність від значення N0 при ?=0 зростає до N(tн) на величину 

Мал. 2.5. Зміна потужності ЯР у надкритичному й підкритичному станах

ΔN+=N(tн)–N0=N0 ρ/(βеф – ρ), де ΔN+ – позитивний стрибок потужності.

Після цього введення реактивності 0<ρ<βеф кількість запізнілих нейтронів nзап протягом деякого часу залишається на колишньому рівні, а кількість миттєвих нейтронів nмит відразу ж зростає до нового значення n'мит, що приводить до зменшення частки запізнілих нейтронів ( і ефективному часу життя поколінь нейтронів , що зменшує період розгону ядерного реактора і процес нарощування потужності реактора протікає прискорено до встановлення постійного співвідношення nзап(t)/nмит(t). Порушується баланс й при введенні негативної реактивності, але в цьому випадку величина βеф зростає, оскільки nмит відразу ж зменшується, а nзап якийсь час залишається на колишньому рівні. Тому при однаковому за абсолютним значенням стрибку реактивності ρ від нульового значення (ρ=0), але різного знаку ± ρ, зниження густини потоку нейтронів в активній зоні ядерного реактора і його потужності відбувається повільніше, ніж збільшення. При стрибку реактивності ?<0 після зниження потужності на миттєвих нейтронах до рівня N(tн) на величину

( – негативний стрибок потужності) подальше спадання потужності реактора визначатиметься постійною швидкості радіоактивного розпаду найбільш довгоживучої групи атомних ядер (уламків ділення) – попередників запізнілих нейтронів, тобто з періодом Т=80,6 с. Чим більша негативна реактивність (- ρ) вводиться до активної зони ядерного реактора, тим швидше досягається цей період спаду потужності, але збільшити швидкість зниження потужності з цієї миті неможливо.

При роботі ядерного реактора на стаціонарній потужності запізнілі нейтрони не грають жодної ролі, тому що дефіцит нейтронів у момент ділення компенсується надходженням з уламків ділення, що раніше з'явилися.

Величина періоду розгону ядерного реактора Т і реактивність ρ пов'язані з часткою запізнілих нейтронів βі і їх часом запізнення τі співвідношенням, яке іноді називають формулою зворотних годинників:

де tн – час життя покоління миттєвих нейтронів ділення; Кеф=1/(1-ρ) – ефективний коефіцієнт розмноження нейтронів; βi – частка запізнілих нейтронів i-ї групи; τi – час життя уламків ділення – джерел запізнілих нейтронів; τзап – середній за шістьома групами запізнілих нейтронів час життя уламків-джерел (для урану-235 величина τзап ≈ 12 с);

– усереднений за миттєвими (часом життя)  й запізнілими (часом запізнювання) нейтронами час життя покоління нейтронів:

де n=nмит+n – кількість миттєвих (nмит) й запізнілих (nзап) нейтронів, що виникають при одному акті поділу. В ядерному реакторі на теплових нейтронах з урановим паливом (уран-235)

Завдяки великій величині τзап запізнілі нейтрони на два і більше порядків (більш ніж у сто разів) збільшують середній час життя нейтронів одного покоління, створюючи можливість керування ланцюговою реакцією. Проте це справедливо тільки при ρ<β^_еф, при ρ<β^_еф вплив запізнілих нейтронів на швидкість зміни потужності ядерного реактора припиняється, це і є межа керованості ядерного реактора.

Практично для всіх ядерних реакторів γ>1. В ядерних реакторах на теплових нейтронах запізнілі нейтрони народжуються з меншою енергією (Езап≈0,5 МеВ), ніж миттєві (Емит≈2 МеВ), вони мають менші пробіги й витік. Тому частка запізнілих нейтронів у відношенні до миттєвих нейтронів після їх уповільнення від 2 до 0,5 МеВ зростає: величина ? може досягати значення, рівного 1, 2, а величина βеф ≈ 1,2·0,64%=0,8% для урану-235. Чим менші розміри активної зони реактора, тим цінніші запізнілі нейтрони. Для водо-водяних реакторів γ≈1+20В², де В – геометричний параметр (лапласіан) активної зони. Якщо в активній зоні ядерного реактора є берилій або важка вода, то на поведінку ядерного реактора поблизу критичного стану (ρ<β) можуть впливати фотонейтрони з фотоядерних реакцій (γ, n) внаслідок опромінення Ве і D γ-квантами, що випускаються продуктами ділення. В ядерних реакторах на швидких нейтронах, в котрих для відтворення ядерного палива використовується уран-238, ефективність запізнілих нейтронів істотно вища, ніж для урану-235 й плутонію-239 (табл. 2.3). У цьому випадку навіть в ядерному реакторі з плутонієм-239 величина βеф буде досить великою.

Збільшення цінності запізнілих нейтронів розширює діапазон допустимої зміни реактивності ρ при управлінні ядерним реактором (ρ<βеф =γ·β).

Та обставина, що густина потоку нейтронів в активній зоні ядерного реактора зростає і зменшується, поступово наближаючись до свого можливого значення (асимптотично) відповідно до періоду який залежить від введеної реактивності ρ, дозволяє порівняно легко управляти ядерним реактором переміщенням стрижнів регулювання в його активній зоні, матеріал котрих сильно поглинає нейтрони, на задану, наперед відкалібровану відстань.

Температурний коефіцієнт реактивності. Одним з важливих параметрів кожного ядерного реактора є реакція коефіцієнта розмноження нейтронів Кеф і, отже, реактивності ρ=(Кеф–1/Кеф) на зміну температури всіх компонентів активної зони від «холодного» стану (~20°С) до робочої температури при виході реактора на номінальну потужність. Абсолютне значення й знак температурного коефіцієнта реактивності ρт

залежать від типу ядерного реактора, тобто від енергетичного спектру нейтронів, матеріалу сповільнювача, концентрації атомів різних елементів у матеріалах активної зони. Температурний ефект реактивності є інтегральною характеристикою й визначає вплив температури на величину запасу реактивності ρзап. Зміна реактивності ρ, що відповідає зміні температури активної зони ядерного реактора на 1°С, називається «температурним коефіцієнтом реактивності» αт:

αт = Δρт/ΔT = [Δkеф/kеф]/ΔT.

Температурний коефіцієнт реактивності αт є диференціальною характеристикою, він визначає сталість роботи ядерного реактора залежно від абсолютного значення й знаку αт.

Підвищення температури незначною мірою впливає на величину добутку ηε (коефіцієнта ділення η на коефіцієнт розмноження на швидких нейтронах ε) у формулі чотирьох співмножників, але значення коефіцієнта використання теплових нейтронів f зазвичай зростає (тобто наближається до одиниці) через зменшення густини сповільнювача (зменшення концентрації його атомів). Це приводить до збільшення середньої енергії теплових нейтронів і зростаючого захоплення нейтронів плутонієм-239 (утвореним в паливі з урану-238) внаслідок резонансу в енергетичній залежності перетину реакції його ділення при енергії 0,3 еВ (див. мал. 2.2). З іншого боку, величина ρ (вірогідність уникнути резонансного захоплення нейтронів) зменшується через доплерівське розширення резонансних піків в енергетичних залежностях перерізів реакцій радіаційного захоплення нейтронів (n, γ) для ядер урану і плутонію. Доплерівське розширення також збільшує захоплення нейтронів матеріалами стрижнів регулювання. Ефекти доплерівського розширення резонансів поглинання нейтронів без ділення переважають, тому величини К∞ і ρ дещо зменшуються зі зростанням температури активної зони ядерного реактора. Цей ефект називається «негативним температурним коефіцієнтом реактивності».

В ядерному реакторі з киплячою водою негативний коефіцієнт реактивності виникає через бульбашки пари у воді (парові пустоти у сповільнювачі), які зменшують термалізацію нейтронів, збільшують їх енергію і підвищують швидкість їх витоку. У такому реакторі вплив парових пустот на обмеження потужності переважає над впливом доплерівського розширення.

При збільшенні коефіцієнта розмноження нейтронів К зростає інтенсивність поділу і підвищується температура активної зони реактора. Якщо температурний коефіцієнт позитивний, то величина коефіцієнта реактивності зростатиме і приводитиме до подальшого підвищення температури. Зрештою активна зона ядерного реактора досягне температури, за якої відбудеться її руйнування, якщо не будуть приведені в дію органи регулювання, щоб зменшити коефіцієнт розмноження нейтронів К. При негативному температурному коефіцієнті реактивності відбувається саморегулювання ядерного реактора: підвищення потужності (й, отже, температури) зменшує величину коефіцієнта розмноження нейтронів К, що приводить до обмеження підвищення потужності.

Загалом температурний коефіцієнт реактивності (ТКР) для реакторів на теплових нейтронах негативний і для реакторів типа ВВЕР дорівнює (2–9)·10^-5/°С. Слід зазначити, що на абсолютне значення ТКР водо-водяного реактора істотно впливає введення борної кислоти в сповільнювач/теплоносій, зростання концентрації борного поглинача нейтронів зменшує абсолютне значення ТКР, а при концентрації бору більше 6,5 г/літр ТКР стає позитивним. ТКР водо-водяних реакторів залежить від температури, кількості й положення регулюючих стрижнів в активній зоні реактора, глибини вигоряння палива.

У реакторах на теплових нейтронах канального типу РБМК (сповільнювач – графіт, теплоносій – вода) ТКР також складним чином залежить від глибини вигоряння палива, від положення і кількості регулюючих стрижнів.

У реакторах на швидких нейтронах електричною потужністю близько 1000 МВт з натрієвим теплоносієм і паливом у вигляді суміші UO2+PuO2 при збільшенні об'єму активної зони з'являється негативна складова реактивності, яка за абсолютною величиною тим менша, чим більший розмір реактора. Значна негативна складова в ТКР з'являється через доплер-ефект. Зі зростанням температури резонанси в перетинах урану-238 стають ширшими, що призводить до зменшення блокування перетинів і, отже, до зростання перетину поглинання нейтронів. Доплер-ефект вносить негативну складову і внаслідок розширення резонансів перетинів таких ядерпродуктів, як плутоній-240, а також перетинів конструкційних матеріалів. Проте для матеріалів, що діляться, таких як уран-235, плутоній-239 і плутоній-241, розширення резонансів приводить до появи позитивної складової ТКР. Це пов'язано з тим, що для цих ядер в резонансній області відношення перетинів ділення до перетину радіаційного захвату нейтронів може бути більше одиниці. Проте основний внесок в ТКР робить доплер-ефект на урані-238, що пов'язане з його великою концентрацією і великими коефіцієнтами блокування.

Пуск ядерного реактора. Пуск ядерного реактора – це виведення його з підкритичного стану з допустимим періодом розгону до рівня густини потоку нейтронів (потужності), надійно контрольованого пусковою апаратурою.

Для здійснення ланцюгової реакції ділення в активній зоні ядерного реактора необхідно мати вихідний нейтрон, що починає процес ділення.

Джерелами таких нейтронів у непрацюючому ядерному реакторі зі свіжозавантаженим паливом є:

• спонтанне (самовільне) ділення ядер атомів палива. Наприклад, уран-238 самовільно ділиться, випускаючи при діленні νf=2,3 нейтрона з періодом напіврозпаду Т1/2=8·1015 років [24,8 ділень/грам·год]. В 1 тонні природного урану народжується ~15·10³ нейтронів/с. Ізотоп уран-235 (0,7% у природному урані) ділиться самовільно у 22 рази повільніше;

• нейтрони космічного випромінювання: на рівні моря густина потоку Ф космічних нейтронів складає 6,5·10^-3 нейтронів(см²·с)=65 нейтронів/(м²·с), з яких 23 нейтрона/(м²·с) мають енергію Е<0,4 еВ і ~42 нейтрони/(см²·с) з енергією Е>0,4 еВ.

Якщо ядерний реактор вже працював, то в ньому накопичуються радіоактивні елементи – уламки ділення, котрі випромінють γ-кванти. Якщо в активній зоні ядерного реактора є берилій Ве або важка вода D2О (в 1 тонні звичайної води міститься 200 грам важкої), то γ-кванти, що випускаються уламками поділу, взаємодіють з⁹Ве і²Н ядрами атомів цих речовин і народжують нейтрони у фотоядерних реакціях (γ, n):

Окрім того, в працюючому ядерному реакторі накопичуються трансуранові елементи: каліфорній Сf, кюрій Cm, плутоній Pu.

Один міліграм ізотопу каліфорній-252 з періодом напіврозпаду Т1/2=87,5 років (νf=3,7 нейтрона/ділення) випускає ~3·10⁹ нейтронів/с.

Зазвичай інтенсивність джерел нейтронів недостатня, щоб органи регулювання потужності ядерного реактора могли ефективно контролювати зміну потоку нейтронів в активній зоні. Щоб полегшити пуск ядерного реактора, в нього зазвичай вводять додаткові джерела нейтронів. Використовують суміш радіоактивних елементів, випромінюючих α-частинки (Ra, Pu, Po та ін.), з легкими елементами (Ве, В), які мають низький енергетичний поріг ядерної реакції (α, n), створюючої нейтрони. Існують стандартні джерела нейтронів на основі (α, n) реакції – Ra–Be, Rn–Be, Po–Be тощо. Джерело Pu–Be має потік нейтронів до 5·10⁷ нейтронів/с; джерело Po–Be випускає до 4·10⁸ нейтронів/с, джерело на основі каліфорнію – від 1,5·10⁷ до 10⁹ нейтронів/с.
Мал. 2.6. Зміна Ф у підкритичному й критичному станах ЯР

В активній зоні ядерного реактора об'ємом V (см³) густина нейтронів n і густина потоку нейтронів, які мають швидкість v (см/с) і середній час життя tн (с), створених джерелом нейтронів з інтенсивністю Iдж (нейтронів/с), будуть дорівнювати

n=Iдж·tн/V (нейтронів/см³);

Фдж=nυ =Iдж·tн υ/V (нейтронів/см2·с).

Усталена інтенсивність джерела нейтронів у середовищі, що розмножує нейтрони, з коефіцієнтом розмноження Кеф<1 (реактор заглушений і не працював):

Величина Кпід=1/(1–Кеф) називається підкритичним коефіцієнтом розмноження, або «множенням» нейтронів; i=t/tн, – кількість поколінь нейтронів, народжених за час t, при часі життя покоління tн.

Густина потоку нейтронів у підкритичному ядерному реакторі (Кеф<1) через час t після введення джерела нейтронів інтенсивністю Iдж (нейтронів/с) й густиною потоку нейтронів джерела Фдж= nυ (нейтронів/(см2·с) дорівнює (мал. 2.6):

.

При зростанні кількості поколінь нейтронів i=t/tн до безкінечності (t→∞) величина Фпід густини потоку нейтронів у підкритичному реакторі досягає усталеного значення:

Фуст=Фдж/(1–Кеф).

Час установлення підкритичної густини потоку нейтронів до рівня Ф(tуст) залежить від підкритичності ядерного реактора (1–Кеф), часу життя покоління нейтронів tн, густини потоку нейтронів джерела Фдж [нейтронів/(см²·с)], тобто від інтенсивності джерела нейтронів Iдж (нейтронів/с), введеного до

активної зони реактора при даній підкритичності:

де ΔФ=Фуст–Ф(tуст) – густина потоку нейтронів у момент часу tуст , якої не стає до усталеного значення. Практично Фпід можна вважати усталеним, коли густина потоку нейтронів досягне величини 90–95% Фуст:

тобто ΔФ=10% Фуст;

тобто ΔФ=5% Фуст.

При надкритичності, що менша частки запізнілих нейтронів, чим ближче Кеф до одиниці, тим більшою мірою на час установлення впливає час запізнювання запізнілих нейтронів. Чим ближче критичний стан, тим більший час стабілізації процесу.

При роботі ядерного реактора на потужності потік нейтронів на декілька порядків вищий за потік нейтронів від джерела, тому вважається, що в критичному ядерному реакторі (Кеф=1) потужність постійна. Але в пусковому режимі потік нейтронів джерела порівнянний із загальним потоком нейтронів в ядерному реакторі. Якщо в критичний ядерний реактор ввести негативну реактивність, то він стане підкритичним й потік нейтронів у реакторі зменшуватиметься за експоненційним законом до установлення стаціонарної щільності потоку Фпід.

Вихідна потужність Nпід, з якої починається пуск ядерного реактора в підкритичному стані, знаходиться на постійному рівні, що визначається потужністю джерел нейтронів Nдж (без урахування розмноження):

Nпід=Nдж/(1–Кеф) ≈ Nдж/ρпід.

Усталена густина потоку нейтронів постійна:

Фпід=Фдж/(1–Кеф) ≈ Фдж/ρпід.

Мал. 2.7. Зміна густини потоку нейтронів (потужності) при пуску ЯР Мал. 2.8. Залежність періодів Т й Т(2) вираженої у частках βеф (дол.), Т(2) – період подвоєння потужності, Т(2)=Tln2 Мал. 2.9. Залежність періодів Т й Т(2) від ρ для βеф=0,7 і 0,8%

Швидкість збільшення потужності ядерного реактора в підкритичному стані dNпід/dt визначається підкритичністю (1–Кеф) й швидкістю збільшення коефіцієнта розмноження Кеф (тобто швидкістю вивільнення реактивності ρ, що дорівнює ρ=(1–Кеф) /Кеф). З наближенням ядерного реактора до критичного стану Кеф→1 можна вважати, що ρ ≈ δКэф.

Чим ближче ядерний реактор до критичного стану (тобто чим менша підкритичність), тим швидше зростає потужність при постійній швидкості збільшення ρ.

В енергетичних ядерних реакторах потужність джерел нейтронів, що випускаються ядерним паливом (спонтанне ділення), складає 10^-7–10^-6 Вт. Введення до активної зони ядерного реактора штучних джерел нейтронів дозволяє підвищити потужність до 10^-3–10^-2 Вт.

При пуску й роботі на енергетичному рівні інтервал потужності ядерного реактора зазвичай розбивають на три діапазони: пускова потужність складає 10^-5–10^-3% номінальної; мінімальна автоматично регульована потужність – 10^-3–1,0% номінальної; робоча потужність – 1,0–100% номінальної потужності Nном.

Пуск пов'язаний з проходженням не контрольованого приладами діапазону потужності, якщо не використовуються методи збільшення підкритичної густини потоку нейтронів Фпід. Складність пуску ядерного реактора полягає у виборі швидкості звільнення реактивності ρ, яка забезпечила б виведення ядерного реактора на мінімально контрольований рівень (МКР) з допустимим періодом розгону Т>20–30 с. Найбільш безпечний і надійний варіант пуску реактора, коли МКР досягається в підкритичному стані й перехід через критичний стан контролюється. У практиці пусків енергетичних ядерних реакторів під виходом на МКР розуміють виведення ядерного реактора в надкритичний стан з максимально надійно контрольованим періодом.

Як видно з мал. 2.7, при чутливості пускової апаратури, що дорівнює Nмкр (потужності реактора, відповідній мінімально контрольованому рівню) та потужності джерела нейтронів Nдж, який забезпечує підкритичну потужність Nпід1= Nдж/ρпід1, ядерний реактор буде виведений на МКР при реактивності, що дорівнює +ρ3≈3ρш≈0,003 з періодом Т3≈5 с, що неприпустимо. Існують різні способи безпечного пуску ядерного реактора з допустимим періодом розгону.

Один із способів полягає в тому, щоб збільшити потужність внутрішнього джерела нейтронів до величини (див. мал. 2.7). При тій же чутливості пускової апаратури, котра  дорівнює Nмкр, ядерний реактор виходить на МКР при реактивності ρ_під4, коли

На малюнку 2.7 також наведений спосіб збільшення чутливості пускової апаратури до рівня потужності У цьому випадку при тій же програмі звільнення реактивності ? потужність досягне контрольованого рівня в підкритичному стані при реактивності ?пjд4, який відповідає Недолік методу пов'язаний зі зниженням надійності детекторів нейтронів при збільшенні їх чутливості.

Основною умовою забезпечення ядерної безпеки при пуску ядерного реактора є виведення реактора в контрольований надкритичний стан із допустимим періодом розгону й надійним виключенням можливості вивільнення реактивності ρ≥βеф, тобто із виключенням розгону реактора на миттєвих нейтронах (мал. 2.8, 2.9).

Зупинка ядерного реактора. Зупинка ядерного реактора – це виведення реактора із критичного стану (Кеф≈1) в підкритичний (Кеф<1). Цей процес супроводжується зниженням теплової потужності ядерного реактора до рівня, що визначається спонтанним (мимовільним) поділом ядер атомів палива й тепловиділенням при гальмуванні та захваті β-й γ-випромінювань продуктів поділу у процесі їх послідовних радіоактивних перетворень. Здійснюється цей процес введенням до активної зони реактора поглинача нейтронів.

Мал. 2.10. Зміна потужності після зупинки ЯРЗупинка ядерного реактора може бути плановою або аварійною. При плановій зупинці темп введення поглинача нейтронів до активної зони реактора повинен забезпечити допустиму швидкість зниження потужності й температури, що виключає виникнення граничної напруги в елементах конструкцій. При аварійній зупинці ядерного реактора введення поглиначів нейтронів до активної зони реактора повинне знижувати його потужність зі швидкістю, що гарантує збереження цілісності активної зони. В обох випадках введення поглинача до активної зони ядерного реактора повинне забезпечити рівень підкритичності, що виключає мимовільний вихід ядерного реактора в критичний стан через вивільнення реактивності ρ при зниженні потужності й температури.

Введення негативної реактивності |-ρ| до активної зони приводить ядерний реактор за частки секунди до підкритичного стану на миттєвих нейтронах з реактивністю ρмит= βеф+|-ρ|, його потужність стрибком знижується на величину ΔN-=N0ρ/(βеф+|-ρ|) від номінального значення N0 до значення в підкритичному стані N(t_н^оф) = N0βеф/(βеф + |-ρ|) (див. мал. 2.5).

Подальше зниження потужності підкритичного ядерного реактора визначається потужністю джерел запізнілих нейтронів, які випускаються ядрами – уламками реакції ділення ядер атомів палива. Це зниження потужності реактора пропорційне кількості запізнілих нейтронів певної енергії βі,, їх ефективності γі  й постійній швидкості радіоактивного розпаду ?і (тобто часу життя ?і =1/?і запізнілих нейтронів) ядер-уламків (мал. 2.10):

При повному природному радіоактивному розпаді ядер – продуктів ділення одного ядра урану-235 виділяється ~26 МеВ, з них ~11 МеВ відносить нейтрино й ~15 МеВ залишається в ядерному паливі. Приблизно через 1 годину після зупинки ядерного реактора теплова потужність Nβγ розпаду продуктів ділення складатиме 2–3% номінальної потужності N0 й перевищить величину Nзап(t), що вноситься запізнілими нейтронами (мал. 2.10 й 2.11). На мал. 2.12 наведена залежність спадання потужності, котра визначається запізнілими нейтронами, в одиницях fβ(t) від часу, що відлічується з моменту введення поглиначів до активної зони ядерного реактора:

Мал. 2.11. Залишкове тепловиділення в активній зоні ВВЕР 440Для розрахунку потужності N?? в активній зоні ядерного реактора, що виділяється при гальмуванні і захопленні ?і ?-випромінювань уламків поділу в процесах їх послідовних природних радіоактивних перетворень, використовуються різні формули. Найбільш вживаною є формула Вігнера і Вей:

 
(час tст і Т – у с);

(час tст і Т – у добах).

У цих виразах Nβγ – потужність залишкового тепловиділення активної зони ядерного реактора через час tст після його зупинки; N0 – потужність ядерного реактора до зупинки, на якій він працював протягом часу Т. На малюнку 2.13 представлені графічно ці залежності, що дозволяють оцінити потужність залишкового тепловиділення радіоактивних розпадів ядер – продуктів ділення Nβγ у будь-який момент

 Мал. 2.12. Зниження потужності, обумовленої запізнілими нейтронами, після зупинки ЯР Мал. 2.13. Графік для наближеної оцінки Nβγ після зупинки ЯР при T<<tст

tст після зупинки ядерного реактора. Концентрація продуктів ділення в ядерному паливі залежить від рівня потужності N0 й часу Т, протягом якого реактор працював на цьому рівні потужності. На мал. 2.14 представлені графічні залежності Nβγ = f(N0, T, tст) потужності залишкового тепловиділення, що враховують всі згадані чинники. Похибка визначення величин Nβγ складає ~10–15%.

Мал. 2.14. Графік для визначення оцінки Nβγ після зупинки ЯР